Wie werden Prämien bei Versicherungen berechnet?

Wie werden Prämien bei Versicherungen berechnet?

Der Preis für eine Versicherung erscheint auf den ersten Blick undurchsichtig. Quarks & Co hat die Berechnung für drei typische Versicherungen aufgedröselt – ganz ohne die üblichen mathematischen Formeln.

Die Feuerversicherung

Grafik: Ein Mann steht vor dem Gebäude der Pyromania-Feuerversicherung

Eine Feuerversicherung sichert 500.000 Euro für 500 Euro ab.

Nehmen wir als erstes Beispiel eine ganz einfache Feuerversicherung für ein Haus. Das Haus hat 500.000 Euro gekostet und die Versicherung soll diesen Betrag zahlen, wenn das Haus abbrennt. Grundsätzlich muss man in diesem Fall nur die Versicherungssumme (also 500.000 Euro) mit der Wahrscheinlichkeit, dass das Haus abbrennt, multiplizieren. Versicherungen können da auf öffentliche Statistiken und eigene Erfahrungen zurückgreifen. Wenn wir annehmen, dass Jahr für Jahr im Schnitt 0,1 Prozent der versicherten Häuser abbrennen, dann bedeutet das erstmal, dass die Prämie für ein 500.000 Euro teures Haus bei mindestens 500 Euro liegen muss. Denn: 500.000 Euro mal 0,001 ergeben 500 Euro.

Warum Versicherungen überhaupt funktionieren

Grafik: Eine Figur mit Taschenrechner steht neben einer Tafel mit der Kostenkalkulation

So setzt sich die Versicherungsprämie für eine Feuerversicherung zusammen.

Wenn eine Versicherung 100.000 Häuser zu je 500.000 Euro versichert hat, gehen bei den angenommenen 0,1 Prozent etwa 100 Häuser in Flammen auf. Die Versicherung muss also in jedem Jahr 50 Millionen Euro an ihre Versicherten auszahlen. Denn 100 abgebrannte Häuser im Wert von je 500.000 Euro ergeben einen Schaden in Höhe von 50 Millionen Euro. Umgelegt auf die 100.000 Versicherten sind das jedoch nur die oben berechneten 500 Euro Versicherungsprämie pro Jahr. Denn 90.900 Versicherte erhalten keine Leistungen aus der Versicherung. Das ist der Vorteil, wenn viele Menschen einzahlen. Doch ganz so günstig kommt man in der Realität nicht an den Versicherungsschutz. Die Versicherung selbst verursacht natürlich auch Kosten: für Gebäude, Angestellte und so weiter. Das sind zum Beispiel 109 Euro. Dazu kommen dann noch 19 Prozent Versicherungssteuer; macht 116 Euro. Zusammen ergibt das eine Jahresprämie von 725 Euro.

Feuerversicherung auch für reiche Menschen?

Grafik: Ein Mann steht mit einem Geldsack vor seinem abgebrannten Haus

Ein Millionär könnte auch ohne Feuerversicherung sein Haus wieder aufbauen.

Ein Millionär könnte sich natürlich überlegen, ob es sinnvoll ist, eine Feuerversicherung abzuschließen. Denn sollte sein Haus mal abbrennen, könnte er sich ja mit seinem Ersparten ein neues leisten. Auch wenn die Wahrscheinlichkeit, dass das Haus abbrennt, gering ist, kann das theoretisch schon morgen passieren. Und genau das ist das Problem: Das Geld für den Neubau des Hauses müsste jederzeit verfügbar sein. Man kann das Geld also weder ausgeben, noch kann man es zu guten Zinsen anlegen. Nur ein Prozent weniger Zinsen auf 500.000 Euro schmälert den Ertrag um 5000 Euro pro Jahr. Daher ist es selbst für Millionäre lukrativ, eine Feuerversicherung abzuschließen, deren Beitrag ja deutlich niedriger liegt.

Die Kfz-Haftpflichtversicherung

Grafik: Ein Mann steht vor dem Gebäude der Mobilia-Kfz-Versicherung

Eine Kfz-Haftpflichtversicherung ist für Autohalter eine Pflichtversicherung.

Wer ein Auto sein eigen nennt, muss in Deutschland eine Kfz-Haftpflichtversicherung abschließen. Denn anders als die Feuerversicherung ist sie eine Pflichtversicherung. Das ist auch sinnvoll, denn schon eine kleine Unachtsamkeit kann schlimme Folgen haben: vom beschädigten Außenspiegel mit 200 Euro bis zu einem Unfall mit Personenschaden und Kosten von über 100.000 Euro ist alles möglich. Im Jahr 2015 mussten die Kfz-Versicherungen in Deutschland für jeden Schaden im Schnitt knapp 4000 Euro zahlen. Doch die allermeisten Versicherten kommen unfallfrei durchs Jahr. So entsteht pro Versichertem ein durchschnittlicher Schaden von unter 250 Euro. Bei einem einzigen Versicherten wäre das Risiko für die Versicherung jedoch kaum zu bestimmen. Vielleicht fährt man die nächsten Jahre unfallfrei oder man baut schon morgen einen größeren Unfall.

Masse ist Klasse

Grafik: Ein Mann steht an einer Maschine. Auf dem Monitor steht "Kostenkalkulation".

Je mehr Versicherte, desto geringer ist die Streuung der einzelnen Schadenssummen.

Das Geschäft mit den Kfz-Haftpflichtversicherungen ist ein Massengeschäft. Und das wirkt sich positiv auf die Versicherungsprämie aus. Je mehr Versicherte die Versicherung hat, desto geringer ist das Risiko, dass der Schadenbedarf pro Versichertem deutlich über die oben genannten 250 Euro hinausgeht. Denn für den Fall eines höheren Schadenbedarfs verliert die Versicherung eigenes Kapital. Und für dieses Risiko lässt sie sich von den Kunden natürlich entschädigen. Bei 100.000 Versicherten schlägt das aber nur mit knapp 3 Euro zu Buche – die sogenannte Überdividende. Anders wäre das bei kleineren Versicherungen: Je weniger Versicherte eine Versicherung hat, desto stärker streuen die Schadenssummen. Und das hat Auswirkungen auf die Überdividende: Bei 10.000 Versicherten liegt sie bei knapp 11 Euro; bei 1.000 Versicherten bei etwas über 50 Euro. Das bedeutet, dass die Jahresprämie einer kleinen Versicherung mit 1.000 Versicherten schon allein aus diesem Grund etwa 50 Euro über dem Betrag einer Versicherung mit 100.000 Kunden liegen muss. Jetzt fehlen noch die Betriebskosten (in unserem Beispiel sind das 75 Euro) und die Versicherungssteuer in Höhe von 62 Euro. Für eine Versicherung mit 100.000 Kunden ergibt sich also eine Jahresprämie von 390 Euro. Gerade in der Kfz-Versicherung ist das aber nur die halbe Wahrheit. Unzählige Rahmenbedingungen haben Einfluss auf die tatsächliche Prämie: Wer schadenfrei fährt, bekommt genauso einen Rabatt wie derjenige, der sein Auto in einer Garage parkt.

Die Risikolebensversicherung

Grafik: Ein Versicherungsmitarbeiter zahlt aufgrund eines Todesfalls die Versicherungssumme aus.

Wer eine Risikolebensversicherung abschließt, sichert für vergleichsweise wenig Geld seine Familie ab.

Wer die Familie im Falle des eigenen Todes absichern möchte, schließt eine Risikolebensversicherung ab – beispielsweise über die Summe von 100.000 Euro. Im Prinzip funktioniert die Berechnung der Prämie ähnlich wie bei der Feuerversicherung: Risiko mal Versicherungssumme ergibt den Jahresbeitrag.

Für einen 30-jährigen Nichtraucher beträgt nach den Sterbetafeln der Versicherungen das Risiko, vor seinem 31. Geburtstag zu sterben "0,000699". Konkret bedeutet das, dass von 100.000 Versicherten im Alter von 30 Jahren ziemlich genau 70 Personen im Laufe des Jahres versterben werden. 99.930 Menschen aus dieser Gruppe der 30-Jährigen werden das Jahr also überleben. Der erste Schritt zur Prämienberechnung für ein einzelnes Jahr Risikolebensversicherung in Höhe von 100.000 Euro lautet: 0,00069 mal 100.000 Euro ergeben 69,90 Euro.

Das Risiko, im nächsten Jahr zu sterben, steigt mit dem Alter an

Doch einjährige Risiko-Lebensversicherungen gibt es nicht. Sie laufen mindestens fünf Jahre. Üblich sind aber 15 Jahre und mehr. Dann wird die Sache etwas unübersichtlicher: Die Sterbewahrscheinlichkeit steigt mit der Zeit an: Sterben von 100.000 Nichtrauchern im Alter von 30 Jahren nach den Tabellen der Versicherer im Laufe des Jahres nur 70, so sind es bei den 44-Jährigen schon 153. Entsprechend erhöht sich für die Versicherung auch das Risiko, dass sie die 100.000 Euro auszahlen muss. Denkbar wäre, dass sich der Versicherungsbeitrag in jedem Jahr erhöht: von anfangs 70 Euro auf zum Schluss 153 Euro. Doch die Versicherungen bieten eine Jahresprämie an, die über die gesamte Laufzeit gleichbleibt. Sie nimmt anfangs also mehr Geld als sie für die ersten Jahre berechnet hat. Dadurch bleibt der Beitrag über die gesamte Vertragsdauer stabil.

Vereinfachend kann man den Beitrag also ermitteln, indem man den Mittelwert über alle Jahresprämien berechnet. Dann kommt man in unserem Fall auf 92 Euro. Gewinnmarge, Maklerprovision und Betriebskosten der Versicherung kommen natürlich noch hinzu; Versicherungssteuer hingegen wird bei Lebensversicherungen nicht erhoben.

Aufgepasst mit Brutto- und Netto-Prämien

Für unseren fiktiven 30-jährigen gesunden Nichtraucher haben wir bei einer Online-Versicherung im Januar 2017 ein Angebot eingeholt: Demnach liegt der Jahresbeitrag bei nur 35 Euro pro Jahr. Das ist viel günstiger als die oben berechneten 92 Euro, die zudem ja nur die Kosten für das Sterberisiko abdecken – nicht jedoch die weiteren Kosten der Versicherung. Doch im Kleingedruckten heißt es im Angebot: Der Brutto-Beitrag beläuft sich auf 121 Euro. Die 35 Euro sind also "netto". Der Netto-Beitrag ist viel günstiger, weil die Versicherungen einen großen Teil der Gewinne an die Kunden ausschütten müssen. Diese Überschüsse sind aber nicht garantiert. Die Versicherungen nutzen besondere Sterbetafeln, in denen einige Risiken eingepreist sind. Für einen 44-Jährigen bedeutet das: Die Versicherung rechnet mit 153 Euro Prämie, kalkuliert aber intern nur mit einem Schadensrisiko in Höhe von 105 Euro. Auf diese Weise sind Überschüsse natürlich geradezu garantiert.

Hinzu kommen noch zwei weitere Effekte: Läuft der Vertrag über viele Jahre, ergibt sich ein kleiner Sparanteil, der mit einem geringen Prozentsatz verzinst wird, so dass die Prämie noch ein wenig niedriger liegt. Außerdem haben wir unberücksichtigt gelassen, dass sich das sogenannte Versicherten-Kollektiv Jahr für Jahr durch die Todesfälle verändert. Auch das führt tendenziell zu etwas geringeren Prämien.

Die große Unbekannte: Wann sterben meine Versicherten?

Es ist kein Zufall, dass die Versicherungen vorsichtig kalkulieren. Darauf achtet die Finanzaufsicht. Klar ist: Keine Versicherung kann in die Zukunft sehen. Sie muss aber langjährige Versicherungen im Voraus über die gesamte Laufzeit kalkulieren. Und da gibt es einige Unsicherheiten.

Grafik: Vergleich der Kurven der Sterbetafeln für die Jahre 1871, 1949, 1968 und 2013.

Die Sterbewahrscheinlichkeit sinkt kontinuierlich. Hier die Daten für verschiedene Perioden seit 1871.

Nichtraucher leben länger als Raucher.
Für eine Risikolebensversicherung bedeutet dies, dass Nichtraucher einen günstigeren Tarif bekommen. Bei unserer Versicherungs-Anfrage lag der Raucheraufschlag beim Nettobeitrag bei mehr als 130 Prozent; beim Bruttobeitrag immerhin mehr als 80 Prozent. Das bedeutet, dass diese Versicherung prozentual an Raucher eine geringere Gewinnbeteiligung ausschüttet als an Nichtraucher.

Frauen leben länger als Männer.
Für eine Risikolebensversicherung bedeutet dies, dass Frauen eigentlich einen günstigeren Tarif bekommen könnten. Aber durch ein Urteil des Europäischen Gerichtshofs aus dem Jahr 2011 mussten sogenannte Unisex-Tarife eingeführt werden. Das sind Tarife, die für Männer und Frauen denselben Beitrag haben. Dabei würde die unterschiedliche Sterbewahrscheinlichkeit eigentlich unterschiedliche Prämien erfordern:

Aus den allgemeinen Sterbetafeln des statistischen Bundesamtes 2010/2012 ergibt sich, dass von 100.000 30-jährigen Männern im Laufe des Jahres etwa 67 sterben werden. Bei gleichaltrigen Frauen würden jedoch nur 29 sterben! Aufgrund der Unisex-Regeln müssen die Versicherungen trotz des riesigen Unterschieds die Versicherungen zum selben Preis anbieten. Auch hier kann es kniffelig werden: Je mehr Frauen eine Risikolebensversicherung abschließen, desto günstiger kann die Versicherung den Tarif anbieten. Aber die Versicherung kennt dieses Verhältnis immer erst im Nachhinein.

Später Geborene leben länger als früher Geborene.
Auch hier ist es für die Versicherer im Prinzip ein Blick in die Glaskugel. Aus langjährigen Statistiken ist zwar bekannt, dass die Sterbewahrscheinlichkeit kontinuierlich sinkt. Das zeigt auch die Grafik oben, in der verschiedene Zeitperioden seit 1871 verglichen werden. Wie stark dieser Effekt für die heute lebenden Menschen konkret sein wird, weiß man aber noch nicht. Professor Eckart Bomsdorf vom Institut für Ökonometrie und Statistik der Uni Köln hat mit eigenen Modellen eine Prognose gewagt. Demnach liege die Lebenserwartung heute Geborener mindestens zehn Jahre höher als die aktuellen Daten des Statistischen Bundesamtes angeben.

Je genauer man hinschaut, desto komplizierter wird die Berechnung von Versicherungsprämien. Und das ist auch der Grund dafür, dass Versicherungsmathematiker – die sogenannten Aktuare – nach dem Studium der Mathematik noch eine Zusatzausbildung absolvieren müssen.

Autor: Axel Bach

Lesetipp

LeiTfaden/LeiDfaden Versicherungen: Der Ratgeber durch den Versicherungsdschungel
Autor: Bund der Versicherten
Verlagsangaben: zu Klampen Verlag, Springe 2016
ISBN 978-3866745094
Sonstiges: 336 Seiten (Leitfaden: 217 Seiten, Leidfaden: 119 Seiten) 14,80 Euro
Zwei Bücher in einem: Einmal der "Leitfaden Versicherung" mit Tipps, wie man sich richtig versichert und dabei Geld sparen kann. Das Buch lässt sich sehr gut lesen und kann auch als Nachschlagewerkt genutzt werden, weil eine Vielzahl verschiedener Versicherungen beschrieben und bewertet wird. Wenn man das Buch auf die andere Seite dreht, kann man sich dann mit den unschönen Seiten der Versicherungsbranche auseinandersetzen. Im "Leidfaden Versicherung" geht es um die "Abzocke in der Versicherungswirtschaft" inklusive der Top-9 der "unsinnigen Versicherungsverträge". Herausgeber ist der Bund der Versicherten.

Stand: 04.09.2017, 12:00